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목차
경우의 수(합의 법칙, 곱의법칙)
여러 가지의 경우의 수가 있지만 확률과 통게에서 가장 기본 개념인 경우의 수 - 합/곱의 법칙를 정리 한다.
합의 법칙과 곱의 법칙를 구분하기위한 핵심키는 사건이 동시에 일어나느냐 vs 아니냐 구분하면 된다.
▷ 합의 법칙 : 동시에 일어나지 않는 두 사건의 경우의 수를 구 할 때 더하는(+) 법칙
▷ 곱의 법칙 : 동시에(또는 연달아) 일어나는 두 사건의 경우의 수를 구할 때 곱하는(x) 법칙
물론 위에서 2 사건이라고 단정 하였지만 사실은 2사건 이상이 될수 있음.
예를들어 3가지 사건이 동시에 일어나는 경우라면 3가지 경우의 수를 모두 곱하면 되고 동시에 일어나지 않으면 더하면 된다.
좀 더 쉽게 설명하기위해서 예를 들어 보자.
Q. 1부터 10까지 적힌 카드 10장이 있다. 이중 2장을 선택했을 때 합이 7의 배수인 경우의 수 ?
우선 10장 카드에서 2장을 뽑아 더했을 때 최대(MAX)는 10 + 9 = 19 임.
19 이하에서 7의 배수인 경우는 {7, 14}
▷ 7이 나올 수 있는(사건1) 경우의 수 : (1, 6) (2, 5) (3, 4) <- 3가지
▷ 14가 나올 수 있는(사건2) 경우의 수 : (4, 10) (5, 9) (6, 8) <- 3가지
근데 사건1과 사건2는 동시에 또는 연달아 일어날 필요가 없음. 따라서 합의 법칙에 의해
사건1의 경우의수 + 사건2의 경우의 수 = 3 + 3 = 6이 답이 됨.
Q. 자연수 x, y 가 있는데 x+y <= 4 를 가지게 되는 (x,y)의 순서쌍은 ?
4보다 작은 수는 1, 2, 3, 4 인데 1은 두개의 자연수를 더해 나올수 없으니 1은 제외
▷ 2가 나오는 경우의 수 : (1, 1) <- 1가지
▷ 3이 나오는 경우의 수 : (1, 2) (2, 1) <- 2가지
▷ 4가 나오는 경우의 수 : (1, 3) (3, 1) (2, 2) <-3가지
마찬가지로 이 문제도 2, 3, 4 사건이 나오는 경우의 수는 동시에 일어나지 않으니 합의 법칙에의해 1 + 2 + 3 = 6가지
이제 곱의 법칙 예를 보자.
Q. 주사위 2개를 던질때 일어날수 있는 경우의 수는?
첫번째 주사위에서 나올수 있는 경우의 수는 6가지, 두번째 주사위도 역시 6가지.
근데 주사위를 동시에 던지거나 연달아 던지기 때문에 곱의 법칙에 의해 6 x 6 = 36 가지.
Q. 동전 1개, 주사위 1개를 동시에 동질때 일어날수 있는 경우의 수는 ?
동선은 앞면, 뒷면 2가지 경우의 수가 나오고 주사위는 6가지의 경우의 수가 나오는데 동시에 던지기 때문에 2 x 6 = 12가지.
Q. 24의 양의 약수의 개수는 ?
24를 소인수 분해 하면 2^3 + 3 이 되고 약수가 생성되는 원리는
▷ 2^3 = { 2^0, 2^1, 2^2, 2^3 } <- 4가지
▷ 3 = { 3^0, 3^1 } <-2가지
4 x 2 = 8 임 보통 구학 공식에서 소인수 분해한 지수 +1을 하여 곱한 것과 동일 2^3 + 3^1 -> (3+1) x (1+1) = 8
Q. (a+b)(x+y+z) 를 전개하면 서로다른 항의 개수는 ?
전개되는 과정을 보면 (a, b)둘 중에 하나를 선택하고 (x, y, z)에서 하나를 선택하는 식으로 되니
2 x 3 = 6 가지 입니다.
Q. A, B, C, D 의 정점이 있다. A -> D로 가기위한 경우의 수 ?
A->B 로 가는 경로는 3가지
B->D 로 가는 경로는 2가지
A->C 로 가는 경로는 4가지
C->D 로 가는 경로는 2가지
A->B->D 로 가는 것은 동시에 일어나니 A->B 2가지 경로 x B->D 3가지 경로를 곱한다 : 3 x 2 = 6
A->C->D 로 가는 것은 동시에 일어나니 A->C 3가지 경로 x B->D 2가지 경로를 곱한다 : 4 x 2 = 8
근데 A->B->D 와 A->C->D 로 가는 경로는 동시에 일어날수 없으므로 6 + 8 = 14가 됩니다.
곱의 법칙, 합의법칙 기본개념 끝.
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